Question

решите неравенство

x^2(1-x)
_______ $\leqslant$
x^2-6x+9​

Answer 1

$\frac{x^2*(1-x)}{x^2-6x+9} \leq 0\\D=36-36=0\\\frac{-x^2(x-1)}{(x-3)^2} \leq 0|*-1\\\frac{x^2(x-1)}{(x-3)^2} \geq 0$

И так можно сразу метод интервалов, а можно немного упростить.

x² это всегда не отрицательное выражение, поэтому если оно равно нулю, то 0≤0 и это значение подходит, а если оно не равно нулю, то можно поделить и знак равенства не поменяется т.к. оно положительное. Получается:

$\begin{bmatrix}\frac{x-1}{(x-3)^2} \geq 0\\x=0\end{matrix}$

В знаменателе выражение тоже не отрицательное, но оно ещё и в знаменателе поэтому оно строго больше нуля (всегда только положительно), поэтому мы просто домножаем на это выражение, запомнив, что оно не равняется нулю. Получается:

$\begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}x-1\geq 0\\x=0\end{matrix}\\x-3\neq 0\end{matrix}\\\begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}x\geq 1\\x=0\end{matrix}\\x\neq 3\end{matrix}$

Можно сразу дать ответ.

Ответ: {0}∪[1;+∞)\{3}

или

x=0 и x∈[1;3)∪(3;+∞).