Question

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Answer 1

$\int\limits^{+\infty }_{-1}\, \frac{dx}{x^2+x+1}=\lim\limits _{A \to +\infty}\int\limits^{A}_{-1}\, \frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}\, dx=\lim\limits _{A \to +\infty}\Big (\frac{2}{\sqrt3}\, arctg\frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}\Big )\Big |_{-1}^{A}=\\\\=\lim\limits _{A \to +\infty}\Big (\frac{2}{\sqrt3}\, arctg\frac{2A+1}{\sqrt3}-\frac{2}{\sqrt3}\, arctg\frac{-2+1}{\sqrt3}\Big )=\\\\=\frac{2}{\sqrt3}\cdot \frac{\pi}{2}-\frac{2}{\sqrt3}\cdot \frac{-\pi }{6}=\frac{2}{\sqrt3}\cdot (\frac{\pi }{2}+\frac{\pi}{6})=\frac{2}{\sqrt3}\cdot \frac{4\pi }{6}=\frac{4\pi }{3\sqrt3}\\\\sxoditsya$