Question

Найти объем тела, образованного при вращении вокруг осей OY плоской фигуры, ограниченной линиями x=2cost, y=5sint. + если можно график

Answer 1

$\left \{ {{x=2cost} \atop {y=5sint}} \right. \; \; ,\; \; V=\pi \int\limits^{t_2}_{t_1}\, y^2(t)\cdot x'(t)\, dt\\\\V=-\pi \int\limits_0^{\pi }\, 25\, sin^2t\cdot (-2sint)\, dt=50\, \pi \int\limits^{\pi }_0\, (1-cos^2t)\cdot sint\, dt=\\\\=-50\, \pi \int\limits^{\pi }_0\, (1-cos^2t)\cdot d(cost)=-50\, \pi \cdot (cost-\frac{cos^3t}{3})\Big |_0^{\pi }=\\\\=-50\, \pl \cdot (cos\pi -\frac{1}{3}\, cos^3\pi -cos\, 0+\frac{1}{3}\, cos^3\, 0)=\\\\=-50\, \pi \cdot (-1+\frac{1}{3}-1+\frac{1}{3})=-50\, \pi \cdot (\frac{2}{3}-2)=-50\, \pi \cdot \frac{-4}{3}=\frac{200\pi }{3}$