Question

sin x + cos x = -1.

Answer 1

Sinx + Cosx = - 1

Разделим обе части на √2 , получим :

$\frac{1}{\sqrt{2} }Sinx+\frac{1}{\sqrt{2} }Cosx=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\Cos\frac{\pi }{4}Sinx+Sin\frac{\pi }{4}Cosx=-\frac{1}{\sqrt{2} }\\\\Sin(x+\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{\sqrt{2} }\\\\x+\frac{\pi }{4}=(-1)^{n}arcSin(-\frac{1}{\sqrt{2}})+\pi n,n\in z\\\\x+\frac{\pi }{4}=(-1)^{n+1}\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in z\\\\x=(-1)^{n+1}\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in z$

Answer 2

Замена: x=t+π; sin(x+π)+cos(t+π)=-1; -sin t-cos t=-1; sin t+cos t=1. Напомню, что синус и косинус не могут принимать значения большие 1. Поэтому если sin t или cos t <0 (или оба), их сумма не может равняться 1.  Поэтому t обязан принадлежать первой четверти. Ясно, что t=2πn и  t=(π/2)+2πn  являются решениями. Докажем, что других решений в первой четверти нет. Достаточно (в силу периодичности синуса и косинуса) доказать, что нет решений при t∈(0;π/2). Но это очевидно, так как в этом случае sin t и cos t являются катетами прямоугольного треугольника с гипотенузой 1, а по неравенству треугольника сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей.

Итак, мы нашли значения для t, остается написать ответ для x.

Ответ: π+2πn, n∈Z; (3π/2)+2πn, n∈Z