Question

Помогите пожалуйста с неопределенными интегралами

Answer 1

Ответ: t¹² = 2x - 1

11. 1)$\int\limits{sin(1-x)} \, dx = cos(1 - x) + C$

2)$\int\limits{cos(1-x)} \, dx =-sin(1 - x) + C$

3)$\int\limits\frac{dx}{cos^2(1-x)}=-tg(1-x)+C$

4)$\int\limits\frac{dx}{sin^2(1-x)}=сtg(1-x)+C$

Пошаговое объяснение:

10. В неопределенном интеграле $\int\limits{\frac{\sqrt{2x-1} }{\sqrt[3]{2x-1} +\sqrt[4]{2x-1} } } \, dx$ следует применить подстановку

1) t⁴ = 2x - 1; 2) t¹² = 2x - 1; 3) t³ = 2x - 1; 4) t² = 2x - 1;

Следует применять подстановку так, что бы полностью избавиться от знака радикала. Поскольку в знаменателе присутствует 3 и 4 степень то применяем подстановку 2) = 2x - 1; x = (t¹² +1)/2; dx = 6t¹¹

$\int\limits{\frac{\sqrt{2x-1} }{\sqrt[3]{2x-1} +\sqrt[4]{2x-1} } } \, dx=\int\limits{\frac{t^6 }{t^4 +t^3 } } \, 6t^{11}dt=6\int\limits{\frac{t^{14} }{t +1 } } \,dt=$$6\int\limits{(t^{13}-t^{12}+t{11}-t^{10}+t^9-t^8+t^7-t^6+t^5-t^4+t^3-t^2+t-\frac{1}{t +1 } }) \,dt=$$6(\frac{t^{14}}{14} -\frac{t^{13}}{13} +\frac{t^{12}}{12} -\frac{t^{11}}{11}+\frac{t^{10}}{10}-\frac{t^9}{9}+\frac{t^8}{8} -\frac{t^7}{7} +\frac{t^6}{6}-\frac{t^5}{5}+\frac{t^4}{4}-\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}-ln|t +1|)+C$

Теперь нужно сделать обратную подстановку $t=\sqrt[12]{2x-1}$

11. Укажите соответствие между функциями и их неопределенными интегралами

1.$\int\limits{sin(1-x)} \, dx =-\int\limits{sin(x-1)} \, dx =cos(x - 1) + C = cos(1 - x) + C$

Проверка:(cos(1-x))' = -sin(1 - x)*(1 - x)' = sin(1 - x)

2.$\int\limits{cos(1-x)} \, dx =\int\limits{cos(x-1)} \, dx =sin(x-1) + C = -sin(1 - x) + C$

3.$\int\limits \frac{dx}{cos^2(1-x)}=\int\limits\frac{dx}{cos^2(x-1)}=tg(x-1)+C=-tg(1-x)+C$

4.$\int\limits \frac{dx}{sin^2(1-x)}=\int\limits\frac{dx}{sin^2(x-1)}=-ctg(x-1)+C=ctg(1-x)+C$