Question

Помогите пожалуйста вычислить двойной интеграл по области D,ограниченной указанными линиями
Двойной интеграл (x+y)dxdy D:y^2=x,y=x

Answer 1

$\displaystyle \underset{\mathbb{D}}{\int\int}(x+y)\mathrm{dxdy}\\\\\mathbb{D}:\begin{cases}&x=y^2\\&x=y\end{cases}$

Найдём точки пересечения графиков функций, для этого решим систему:

$\begin{cases}&x=y^2\\&x=y\end{cases}\\y^2=y\\y^2-y=0\\y(y-1)=0\\ \mathbf{y_1=0,\;y_2=1}\\ \mathbf{x_1=0,\;x_2=1}$

Так как функции уже выражены через x, то будем интегрировать сначала по y:

$\displaystyle \underset{\mathbb{D}}{\int\int}(x+y)\mathrm{dxdy}=\textbf{*}\\\\\mathbb{D}:\begin{cases}&x=y^2\\&x=y\end{cases}\\\\ \textbf{*}=\int_{0}^{1}\mathrm{dx}\int_{y^2}^{y}(x+y)\mathrm{dy}={1\over2}\int_{0}^{1}{\left(x+y\right)^2}\big|_{y^2}^{y}\mathrm{dx}={1\over2}\int_{0}^{1}\left(3y^2-y^4-2y^3\right)\mathrm{dx}={1\over2}\left(y^3-{y^5\over5}-{y^4\over2}\right)\bigg|_0^1={1\over2}\left(1-{1\over5}-{1\over2}\right)={1\over2}\cdot{3\over10}={3\over20}$