Question

$Sin5\pi x-cos5\pi x=\frac{\sqrt{6} }{2}$

Напишите сумму корней уровнения на промежутке (0; 1\2)

Помогите, пожалуйста!

Answer 1

А)

Решим данное уравнение:

$\sin(5\pi \: x) - \cos(5\pi \: x) = \frac{ \sqrt{6} }{2} \\ \\ \sqrt{2} \times ( \frac{ \sqrt{2} }{2} \times \sin(5\pi \: x) - \frac{ \sqrt{2} }{2} \times \cos(5\pi \: x) ) = \frac{ \sqrt{6} }{2} \\ \\ \sqrt{2} \times ( \cos( \frac{\pi}{4} ) \times \sin(5\pi \: x) - \sin( \frac{\pi}{4} ) \times \cos(5\pi \: x) ) = \frac{ \sqrt{6} }{2} \\ \\ \sqrt{2} \times \sin( 5\pi \: x - \frac{\pi}{4} ) = \frac{ \sqrt{6} }{2} \\ \\ \sin(5\pi \: x - \frac{\pi}{4} ) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ 1) \: \: \: \: 5\pi \: x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi \: n \\ \\ 5\pi \: x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi \: n \\ \\ x = \frac{7}{60} + \frac{2n}{5} \\ \\ 2) \: \: \: \: 5\pi \: x - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n \\ \\ 5\pi \: x = \frac{11\pi}{12} + 2\pi \: n \\ \\ x = \frac{11}{60} + \frac{2n}{5}$

n принадлежит Z

Б)

$a) \: \: \: \: \: 0 < x < \frac{1}{2} \\ \\ 0 < \frac{7}{60} + \frac{2n}{5} < \frac{1}{2} \\ \\ 0 < 7 + 24n < 30 \\ \\ - 7 < 24n < 23 \\ \\ - \frac{7}{24} < n < \frac{23}{24}$

Так как n - целое число, то подходит n = 0

$x = \frac{7}{60}$

$b) \: \: \: \: \: 0 < \frac{11}{60} + \frac{2n}{5} < \frac{1}{2} \\ \\ 0 < 11 + 24n < 30 \\ \\ - 11 < 24n < 19 \\ \\ - \frac{11}{24} < n < \frac{19}{24}$

Подходит также n = 0

$x = \frac{11}{60}$

Находим сумму двух найденных корней:

$\frac{7}{60} + \frac{11}{60} = \frac{18}{60} = \frac{3}{10} = 0.3$

ОТВЕТ: 0,3