Question

О-точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС и АОВ равны 5 см и 5корень2 см соответственно. Найти величену угла С.

Answer 1

Пусть $R=5,\; r=5\sqrt{2}$, а углы A и B - α и β соответственно.

С одной стороны: $AB=2r\sin(\alpha+\beta)$;

С другой: $AB=2R\sin \angle C = 2R\sin(2\alpha + 2\beta)$; Приравняем эти два равенства: $r\sin(\alpha+\beta)=2R\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha+\beta) \Rightarrow r=2R\cos(\alpha+\beta) \Leftrightarrow \cos(\alpha+\beta)=\frac{r}{2R}$

То есть косинус суммы углов α и β равен r/2R = √2/2, то есть сумма углов равна 45°. А, значит, ∠C = 180-2α-2β = 90°