Question

Найдите все значения параметра a,при котором у уравнения есть одно решение

Answer 1

Ответ: при a ∈ (-7/4; 1/2].

Объяснение:

Пусть $6^x=t,~~t>0$, тогда получаем уравнение

$t^2-(8a+5)t+16a^2+20a-14=0$                                (*)

D = (8a+5)² - 4(16a² + 20a - 14) = 64a² + 80a + 25 - 64a² - 80a+56 = 81

Используем теорему Виета

x₁ + x₂ = 8a + 5

x₁x₂ = 16a² + 20a - 14

Исходное уравнение имеет одно решение, если корни квадратного уравнения (*) имеют разные знаки. Это возможно, когда :

16a² + 20a - 14 < 0

8a² + 10a - 7 < 0

(4a + 7) * (4a-2) < 0

+++++++++(-7/4)------------(1/2)+++++++++++

Но, если подставить a=1/2, получим одно решение.

При a ∈ (-7/4; 1/2] уравнение имеет одно решение.

Answer 2

Замена

$t=6^x\\\\t^2-(8a+5)t+16a^2+20a-14=0\\\\D=81>0$

Чтобы исходное уравнение имело один корень, нужно чтобы получившееся после замены квадратной кравнение имело один полодительный и один неположительный корень, то есть, чтобы

$t_1=4a+7>0\\t_2=4a-2\le0\\4a>-7\\4a\le2\\a\in(-1,75; 0,5]$