Question

Дано равнобедренные треугольники с периметром 32см. Найди стороны треугольника, у которого наибольшая площадь.

Answer 1

Ответ: 32/3 см и 32/3 см.

Объяснение:

Здесь в условии дано равнобедренный треугольник, а не равнобедренные. Пусть боковая сторона равна y см, а сторона основания - x см. Высоту равнобедренного треугольника можно найти по теореме Пифагора:

$h=\sqrt{y^2-\left(\dfrac{x}{2}\right)^2}=\sqrt{y^2-\dfrac{x^2}{4}}$

Периметр треугольника: P = 2y + x;   ⇔  32 = 2y + x  ⇔  y=16 - x/2

Рассмотрим функцию:

$S(x)=\dfrac{1}{2}ah=\dfrac{1}{2}x\sqrt{\left(16-\dfrac{x}{2}\right)^2-\dfrac{x^2}{4}}=\dfrac{x}{2}\sqrt{256-16x}=2x\sqrt{16-x}$

$S'(x)=(2x)'\sqrt{16-x}+2x(\sqrt{16-x})'=2\sqrt{16-x}-\dfrac{x}{\sqrt{16-x}}=\\ \\ =\dfrac{32-2x-x}{\sqrt{16-x}}=\dfrac{32-3x}{\sqrt{16-x}}\\ \\ S'(x)=0;~~~~\dfrac{32-3x}{\sqrt{16-x}}=0~~~\Longleftrightarrow~~~~ 32-3x=0~~~~\Longleftrightarrow~~~~ x=\dfrac{32}{3}$

+++++++++++++++[32/3]----------------------[16]

x = 32/3 - сторона основания

$y=16-\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}$ см - боковая сторона