Question

Найти общее решение дифференциального уравнения
$x^2y'-y^2=x^2$

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Данное диф. уравнение однородное. Пусть y = ux, тогда

y' = u'x + u

$x^2(u'x+u)-u^2x^2=x^2\\ \\ u'x+u-u^2=1\\ \\ u'x=u^2-u+1\\ \\ \dfrac{du}{u^2-u+1}=\dfrac{dx}{x}~~~\Longleftrightarrow~~~~\displaystyle \int \dfrac{du}{(u-\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\int\dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ \dfrac{2}{\sqrt{3}}{\rm arctg}\, \left(\dfrac{2u-1}{\sqrt{3}}\right)=\ln |x|+C$

Обратная замена: u = y/x

$\dfrac{2}{\sqrt{3}}{\rm arctg}\, \left(\dfrac{2y-x}{x\sqrt{3}}\right)=\ln |x|+C\\ \\ y=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}{\rm tg}\,\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\ln |x|+C\right)\right)+\dfrac{x}{2}$