Question

Найти 4/5*7+4/7*9+4/9*11+4/11*13+...+...4/59*61

Answer 1

Найдем сумму рекуррентным способом , пусть $n=5\ frac{4}{n(n+2)}+frac{4}{(n+2)(n+4)}+frac{4}{(n+4)(n+6)}+frac{4}{(n+6)(n+8)}....$
Теперь посмотрим что будет если просуммировать каждую часть отдельно 
$frac{4}{n(n+2)}+frac{4}{(n+2)(n+4)} =frac{8}{n^2+4n}\ frac{4}{n(n+2)}+frac{4}{(n+2)(n+4)}+frac{4}{(n+4)(n+6)}=frac{12}{n^2+6n}\ frac{4}{n(n+2)}+frac{4}{(n+2)(n+4)}+frac{4}{(n+4)(n+6)}+frac{4}{(n+6)(n+8)} = frac{16}{n^2+8n}$
Тогда наша сумма будет равна 
$frac{112}{n^2+56n}=frac{112}{25+56*5}=frac{112}{305}$