Question

Огромная просьба помочь с решением ЛОДУ:

(y+√(xy))dx=xdy

Answer 1

Делим обе части на хdx

$\frac{y}{x} + \sqrt{ \frac{xy}{ {x}^{2} } } = \frac{dy}{dx} \\ \\ \frac{y}{x} + \sqrt{ \frac{y}{ {x} } } = y'$

Замена:

$\frac{y}{x} = t \\ y = tx \\ y' = t'x + t$

Получаем:

$t + \sqrt{t} = t'x + t \\ t'x = \sqrt{t } \\ \frac{dt}{dx} x = \sqrt{t} \\ \int \frac{dt}{ \sqrt{t} } = \int \frac{dx}{x} \\ 2 \sqrt{t} = \ln |x| + \ln |C| \\ \sqrt{t} = \frac{ \ln |Cx| }{2} \\ t = \frac{ \ln ^{2} |Cx| }{4} \\ \frac{y}{x} = \frac{ \ln ^{2} |Cx| }{4} \\ y = \frac{x \ln ^{2} |Cx| }{4} \\ OTBET:y = \frac{x \ln ^{2} |Cx| }{4}$