Question

Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны: a, b, c. Определить его полную поверхность

Answer 1

Пусть х, у, z - это линейные измерения параллелепипеда, тогда получаем следующую систему:

{ у² + z² = a²  (1)

{ x² + y² = c²  (2)

{ z² + x² = b²  (3)

Сложим (1) и (2) , отнимем (3):

(у² + z²) + (x² + y²) - (z² + x²) = a² + c² - b²

2y² = a² + c² - b²

$\\y=\sqrt{\frac{1}{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})}$

Аналогично получаем:

2z² = a² + b² - c²

$\\z=\sqrt{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}$

2x² = b² + c² - a²

$\\x=\sqrt{\frac{1}{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})}$

Полная площадь поверхности параллелепипеда равна:

$\\\\S=2(xy+yz+xz)=\sqrt{a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}}+\sqrt{b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}}+\\\\+\sqrt{c^{4}-(a^{2}-b^{2})^{2}}$