Question

В прямоугольном параллелепипеде диагональ равна а и образует с основанием угол β. Угол между диагональю основания и ее стороной равен α. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.

Answer 1

Ответ: $a\sqrt{2}\sin2\beta\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)$ кв. ед.

Объяснение:

Из прямоугольного треугольника ACC₁:

$\sin \beta=\dfrac{CC_1}{AC_1}~~~~\Longleftrightarrow~~~~ CC_1=AC_1\sin \beta=a\sin \beta\\ \\ \cos \beta=\dfrac{AC_1}{AC_1}~~~~\Longleftrightarrow~~~~ AC=AC_1\cos \beta=a\cos \beta$

Из прямоугольного треугольника ACD:

$\sin \alpha=\dfrac{CD}{AC}~~~~\Longleftrightarrow~~~~ CD=AC\sin \alpha=a\sin\alpha \cos\beta\\ \\ \cos \alpha=\dfrac{AD}{AC}~~~~\Longleftrightarrow~~~~ AD=AC\sin \alpha=a\cos\alpha \cos\beta$

Площадь боковой поверхности параллелепипеда:

$S_{6ok}=P_{oc_H}\cdot h=2(a\sin\alpha \cos\beta+a\cos\alpha\cos\beta)\cdot a\sin\beta=\\ \\ =2a\cos\beta\sin\beta(\sin\alpha+\cos\alpha)=a\sqrt{2}\sin2\beta\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)$

Answer 2

Ответ:

2a²sin²(β)*cos(β) *(cos(α) + sin(α) )

Объяснение:

ΔB1BD:

B1B=B1D*sin(β) = a *sin(β)

BD= B1D*cos(β)= a *sin(β)*cos(β)

ΔBAD:

BA=BD*sin(α) = a *sin(β)*cos(β)*sin(α)

AD=BD*cos(α)= a *sin(β)*cos(β)*cos(α)

S AA1D1D = B1B*AD = a *sin(β)*a *sin(β)*cos(β)*cos(α)=

=a²*sin²(β)*cos(β)*cos(α)

S AA1B1B = B1B*BA =  a *sin(β)*a *sin(β)*cos(β)*sin(α)=

=a² *sin²(β)*cos(β)*sin(α)

Sбок = 2(a²*sin²(β)*cos(β)*cos(α)+a² *sin²(β)*cos(β)*sin(α))=

=2a²sin²(β)*cos(β) *(cos(α) + sin(α) )