Question

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка K - середина AC, точка M - середина AA1. Найдите угол BKM.

Answer 1

В основание правильный треугольник со стороной 1, значит

$BK=1*\sin{60а}=\frac{\sqrt{3} }{2}$ т.к. BK медиана, а значит и высота.

В ΔAA₁C: MK-средняя линия⇒

$MK=\frac{A_1C}{2} =\frac{\sqrt{A_1A^2+AC^2} }{2} =\frac{\sqrt{2} }{2}$

Т.к. рёбра перпендикулярны основанию призмы т.к. она правильная.

BK найдём как гипотенузу

$BM^2=AB^2+AM^2=\frac{5}{4} ;BM=\frac{\sqrt{5} }{2}$

В ΔBMK: воспользуемся теоремой косинусов.

$BM^2=KM^2+KB^2-2\cos{(BKM)}*BK*KM\Rightarrow\\\cos{(BKM)}=\frac{1/2+3/4-5/4}{2*\frac{\sqrt{6} }{4} } =0$

То есть угол 90°, проще доказать через теорему Пифагора наверное.

Ответ: 90°.