Question

СРОЧНООООО даю много баллов
1.
Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение: 2x+y=5?

2.
Сколько корней имеет уравнение: |3−x|+|2x+4|−|x+1|=2x+4?

Answer 1

1)  Найдём все целые решения. Подберём целые решения $(x_0,y_0)$  заданного уравнения.

$2x+y=5\; \; (\star )\; \; ,\quad \; x_0=2\; ,\; y_0=1\\\\2\cdot 2+1=5\; \; (\star \star )\\\\(\star )-(\star \star )\, :\; \; 2(x-2)+(y-1)=0\; \; \Rightarrow \; \; x-2=\frac{1-y}{2}\; -\; celoe\; \; \Rightarrow \\\\1-y=2k\; ,\; k\in Z\; \; \to \; \; y=1-2k\; ,\; k\in Z\\\\x-2=k\; ,\; k\in Z\; \; \to \; \; x=2+k\\\\\left \{ {{y=1-2k} \atop {x=2+k}} \right.\; ,\; k\in Z\\\\y=1-2k\geq 0\; \; \to \; \; k\leq \frac{1}{2}\\\\x=2+k\geq 0\; \; \to \; \; k\geq -2\\\\-2\leq k\leq \frac{1}{2}\; ,\; k\in Z\; \; \Rightarrow \; \; k=-2,-1,0.$

$k=-2:\; x=0\; ,\; y=5\; ;\\\\k=-1:\; x=1\; ,\; y=3\; ;\\\\k=0:\; x=2\; ,\; y=1\; .\\\\Otvet:\; \; (0,5)\; ,\; \; (1,3)\; ,\; \; (2,1)\; .$

Получили три целых неотрицательных решения.

$2)\; \; |3-x|+|2x+4|-|x+1|=2x+4\\\\3-x=0\; ,\; x_1=3\; ;\; \; \; \; 2x+4=0\; ,\; x_2=-2\; ;\; \; \; \; x+1=0\; ,\; x_3=-1\; .\\\\---(-2)---(-1)---(3)---\\\\a)\; x\leq -2:\; |3-x|=3-x\; ,\; |2x+4|=-2x-4\; ,\; \; |x+1|=-x-1\; ,\\\\3-x-2x-4+x+1=2x+4\; ,\\\\-2x=2x+4\; \; ,\; \; 4x=-4\; ,\; \; x=-1\notin (-\infty ,-2\, ]\; \to \; x\in \varnothing \\\\b)\; \; -2<x\leq -1:\; |3-x|=3-x\; ,\; |2x+4|=2x+4\; ,\; |x+1|=-x-1\; ,\\\\3-x+2x+4+x+1=2x+4\\\\2x+8=2x+4\; ,\; \; 8=4\; neverno\; \to \; \; x\in \varnothing$

$c)\; -1<x\leq 3:\; |3-x|=3-x\; ,\; |2x+4|=2x+4\; ,\; |x+1|=x+1\; ,\\\\3-x+2x+4-x-1=2x+4\\\\-2x+6=4\; ,\; \; 2x=2\; ,\; \; \boxed {x=1}\\\\d)\; x>3:\; |3-x|=x-3\; ,\; |2x+4|=2x+4\; ,\; |x+1|=x+1\; ,\\\\x-3+2x+4-x-1=2x+4\; \; \to \; \; -4=0\; -\; neverno\; \to \\\\x\in \varnothing \\\\Otvet:\; \; x=1\; .$

Уравнение имеет один корень .