Question

Решить задачу Коши

x(1+y)y'=y^2

y(1)=1

Answer 1

$x(1+y)\frac{dy}{dx} =y^2\\ \\ \int \frac{1+y}{y^2} dy=\int \frac{dx}{x} \\ \\ \int (\frac{1}{y^2} + \frac{1}{y} )dy=\ln|x| \\ \\ -\frac{1}{y} +\ln|y|+C=\ln|x| \\ \\ y(1)=1 \\ \\ -1+\ln1+C=\ln1 \\ \\ C=1 \\ \\ -\frac{1}{y} +\ln|y|+1=\ln|x| \\ \\ \ln|x|=\frac{y-1}{y} +\ln|y| \\ \\ x=e^{\frac{y-1}{y} +\ln|y|}=e^{\frac{y-1}{y}}*e^{\ln|y|}=ye^{\frac{y-1}{y} } \\ \\ OTBET: \ x=ye^{\frac{y-1}{y} }$