Question

найти первообразную функцию f(x), график которой проходит через точку M
1) f(x) =2x^2-3x, M(2;-3)
2) f(x) =x^3, M(-1;10)
3) f(x) =-x^2+x, M(2;0)
4)f(x)=-x^3, M(1;3)​

Answer 1

Ответ:

1) $\frac{4x^3-9x^2-14}{6}$

2) $\frac{x^4+39}{4}$

3) $\frac{3x^2-2x^3+4}{6}$

4) $\frac{13-x^4}{4}$

Объяснение:

Сначала нужно проинтегрировать функцию f(x), чтобы найти ее первообразную, затем выразить константу и подставить вместо x и y координаты точки M:

1) $\int\limits {2x^2 - 3x} \, dx = \frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}  + c = \frac{4x^3-9x^2}{6} + c\\ y = \frac{4x^3-9x^2}{6} + c => c = y - \frac{4x^3-9x^2}{6}\\c = -3 -  \frac{32-36}{6} = - \frac{7}{3} \\\\\\y = \frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - \frac{7}{3} = \frac{4x^3-9x^2-14}{6}$

Первое я расписал подробно, чтобы было понятно, что происходит. Дальше будет более кратко.

2) $\int\limits {x^3} \, dx = \frac{x^4}{4} + c\\c = y - \frac{x^4}{4} = \frac{39}{4} \\ \\y = \frac{x^4+39}{4}$

3) $\int\limits{x-x^2} \, dx = \frac{3x^2-2x^3}{6} + c\\c = y - \frac{3x^2-2x^3}{6}\\c = \frac{2}{3} \\\\y = \frac{3x^2-2x^3+4}{6}$

4) $\int\limits {-x^3} \, dx = -\frac{x^4}{4} + c\\c = y + \frac{x^4}{4}\\ c = \frac{13}{4}\\ \\y = \frac{13-x^4}{4}$

(Что-то встроенный редактор формул какой-то кривой, всё перемешалось)