Question

Решите уравнение в целых числах: (х+2010)*(х+2011)*(х+2012)=24

Answer 1

(х+2010)(х+2011)(х+2012)=24

представим x+2010 в виде n получим выражение

n(n+1)(n+2)=24

n(n+1)(n+2)-24=0

n(n²+(2n+n)+2)-24=0

n(n²+3n+2)-24=0

n³+3n²+2n-24=0

(n-2)(n²+5n+12)=0

n-2=0 ⇒ n=2

n²+5n+12=0

Cчитаем дискриминант:

$D=5^{2}-4cdot1cdot12=25-48=-23$

Дискриминант отрицательный, следовательно уравнение не имеет действительных решений.

x+2010=2

x=2-2010
x=-2008

Решение теперь очевидно, поскольку 2·3·4=24

Answer 2

Обозначим   Х + 2011 = Т.  Уравнение принимает вид

(Т - 1) * Т * (Т + 1) = 24

Т³ - Т - 24 = 0

Т = 3 является корнем уравнения

(Т - 3) * (Т² + 3 * Т + 8) = 0

Второй сомножитель корней не имеет, так как дискриминант отрицательный, поэтому  Х = 3 - 2011 = -2008 - единственный корень