Question

3. Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС, В и С - точки касания. Оказалось, что А и О симметричны относительно ВС. Найдите угол ВАС.

Answer 1

Так как А и О симметричны, значит, проведя линию ВС, точки А и О окажутся по разные стороны, но на одинаковом расстоянии от прямой ВС.

Так как радиус, проведенный в точку касания, образует с касательной угол 90°

А в четырехугольнике сумма углов равна 360°

У нас получилось 2 треугольника ВАС и ВОС

Проведем высоты ОН и АН к стороне ВС, высоты равны

Значит, по катету и гипотенузе равны треугольники ОСН и ВОН (т.к. треугольник равнобедренный, потому что ВО=ОС(радиусы одной окружности), а значит, ОН еще и медиана)

Так же и с треугольника ми ВАН и АНС

АВ =АС (как отрезки касательных), АН-медиана

Значит, треугольники ВАН и АНС равны по катету и гипотенузе

Рассматривая треугольники СНО и АНС можно сказать, что они так же равны по двум сторонам и углу между ними (НО=АН, НС-общая)

И так же с треугольниками ВАН и ВНО, они тоже равны по двум сторонам и углу между ними

Значит, ВА=АС=ВО=ОС, значит, АВОС-ромб

Так как углы АВО и АСО =90°

То и углы ВАС и ВОС равны по 90°

В сумме все дадут 360

Угол ВАС равен 90°