Question

Треугольник ABC со стороной BC=a и площадью S вращается вокруг прямой BC. Докажите, что V=$\frac{4}{3}$π$\frac{S^{2} }{a}$

Answer 1

Искомая фигура вращения будет являться объединением двух конусов с общим основанием (радиус основания будет равен высоте, опущенной на BC); Пусть высота разделяет основание BC на два отрезка длиной k и l;

Высота: $h=\frac{2S}{a}$;

Площадь основания конуса: $A=\pi \frac{4S^{2}}{a^{2}}$;

Объем: $V=\frac{1}{3}Ak+\frac{1}{3}Al=\frac{1}{3}Aa=\frac{1}{3} \pi \frac{4S^{2}}{a^{2}}a=\frac{4}{3}\pi \frac{S^{2}}{a}$, что и требовалось