Question

Помогите с дифференциальным уравнением, пожалуйста.

Answer 1

1) Поделив обе части уравнения
$dy = 3 {x}^{2} ydx$
на dx запишем его в виде
$\frac{dy}{dx} = 3 {x}^{2} y \\ {y}^{ \prime} = 3 {x}^{2} y$
Т. к. функция
$y = c {e}^{ {x}^{3} }$
является решением уравнения, то она должна удовлетворять этому уравнению (т.е. при подстановке этой функции в уравнение должны получить тождество). Имеем:
${(c {e}^{ {x}^{3} } )}^{ \prime} = 3 {x}^{2} c {e}^{ {x}^{3} } \\ c {e}^{ {x}^{3} } 3 {x}^{2} = 3 {x}^{2} c {e}^{ {x}^{3} }$
Получили верное тождество (правая и левая части равны), а значит функция
$y = c {e}^{ {x}^{3} }$
является решением уравнения.

2) Найдем частное решение, удовлетворяющее условию у(0)=2.
$2 = c {e}^{0} \\ 2 = c$
Таким образом,
$y = 2 {e}^{ {x}^{3} }$
частное решение.