Question

В треугольнике ABC стороны AB и BС равны, угол B равен 72°. Биссектрисы углов A
и C пересекаются в точке M . Найдите величину угла AMC.

Answer 1

Дано :

ΔАВС - равнобедренный (АВ = ВС).

∠В = 72°.

Отрезок АО - биссектриса ∠А.

Отрезок СК - биссектриса ∠С.

Точка М - точка пересечения АО и СК.

Найти :

∠АМС = ?

Решение :

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Следовательно -

∠А = ∠С.

• Сумма внутренних углов треугольника равна 180° (теорема о сумме внутренних углов треугольника).

Следовательно -

∠А + ∠В + ∠С = 180°

∠А + ∠С = 180° - ∠В

∠А + ∠С = 180° - 72°

∠А + ∠С = 108°

∠А = ∠С = 108° : 2 = 54°.

• Биссектриса угла треугольника - это отрезок, который является биссектрисой угла треугольника.

Отсюда -

∠КАМ = ∠МАС = 54° : 2 = 27°

∠АСМ = ∠МСО = 54° : 2 = 27°.

Рассмотрим ΔАМС.

По теореме о сумме внутренних углов треугольника -

∠МАС + ∠АСМ + ∠АМС = 180°

∠АМС = 180° - ∠МАС - ∠АСМ

∠АМС = 180° - 27° - 27°

∠АМС = 126°.

Ответ :

126°.

Answer 2

Ответ:

$\angle AMC = 126^{\circ}$

Объяснение:

Проведём биссектрисы $AS$ и $CF$ углов $A$ и $C$ соответственно.

$M$ - точка пересечения биссектрис $AS$ и $CF$.

========================================================

Так как $AB = BC$ $\Rightarrow$ $\triangle ABC -$ равнобедренный.

$\Rightarrow$ $\angle A = \angle C$, по свойству равнобедренного треугольника.

Сумма внутренних углов треугольника равна $180^{\circ}$.

$\Rightarrow \angle A = \angle C = (180^{\circ} - 72^{\circ}) : 2 = 54^{\circ}$

Так как $AS$ и $CF$ - биссектрисы углов $A$ и $C$ соответственно $\Rightarrow$ $\angle MAC = \angle MCA = 54^{\circ} : 2 = 27^{\circ}$

Сумма внутренних углов треугольника равна $180^{\circ}$

$\Rightarrow \angle AMC = 180^{\circ} - (\angle MAC + \angle MCA) = 180^{\circ} - (27^{\circ} + 27^{\circ}) = 126^{\circ}$