Question

Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям

Answer 1

Найит частное решение дифф.уравнения

$\displaystyle y``+64y=0$

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составим и решим характеристическое уравнение:

$\displaystyle k^2+64=0\\\\k^2= -64\\k=\pm 8i$

получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:

$\displaystyle y=C_1cos8x+C_2sin8x$

Теперь найдем частное решение

$\displaystyle y_0=8; y(\frac{\pi}{16})=C_1cos(8*\frac{\pi}{16})+C_2sin(8*\frac{\pi}{16})=\\\\=C_1cos\frac{\pi}{2}+C_2sin\frac{\pi}{2}=C_2\\\\y(\frac{\pi}{16})=C_2=8$

найдем производную

$\displaystyle y`=-8C_1sin8x+8C_2cos8x\\\\y`(\frac{\pi}{16})=-8C_1sin\frac{\pi}{2}+8C_2cos\frac{\pi }{2}=-8C_1=24\\\ C_1=-3$

тогда частное решение:

$\displaystyle y=-3cos8x+8sin8x$