Question

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $\sqrt[]{x^4+x^2} =x^2-a$ имеет ровно два различных корня.

Answer 1

Заметим, что, если x₀(a) - решение данного уравнения, то -x₀(a) также является решением уравнения. Поэтому при всех a таких, что x≠0, уравнение имеет не менее двух решений. Отсюда легко вывести, что a≠0;

Сделаем замену: m=x²; Так как m+m²≥0, то исходное уравнение (относительно m) равносильно следующему:

$m+m^{2}=m^{2}-2am+a^{2} \Leftrightarrow m=\frac{a^{2}}{1+2a}$; Мы видим, что уравнение имеет единственное решение относительно m для данного a (при всех a, при которых выражение имеет смысл); Значит уравнение относительно x имеет ровно два решения. Осталось рассмотреть случай:

1+2a≠0 ⇔ a≠-0.5;

ОТВЕТ: $a\in \mathbb{R}\backslash (\{0\}\cup \{-\frac{1}{2}\})$