Question

При яких значеннях x похідна функції: $f(x)=\frac{x^{2}-8 }{x+1}$ додатна?

Answer 1

Область визначення: D(f) = (-∞; -1)U(-1; ∞)

f '(x) = $\((\frac{x^2-8}{x+1})' =\frac{(x^2-8)'(x+1)-(x^2-8)(x+1)'}{(x+1)^2}=\frac{2x(x+1)-(x^2-8)}{(x+1)^2}=\frac{2x^2+2x-x^2+8}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x+8}{(x+1)^2}\)$

f '(x) > 0;

$\(\frac{x^2+2x+8}{(x+1)^2}>0\)$

Оскільки дискримінант чисельника від'ємний (D = -28), то знак чисельника, x² + 2x + 8, співпадає  із знаком першого коефіцієнта (a=1), тобто чисельник приймає тільки додатні значення при всіх значеннях аргументу з області визначення даної функції. Знаменник, очевидно, також додатний при всіх значеннях аргументу з області визначення даної функції.

Отже, похідна даної функції додатна при х ∈ (-∞; -1)U(-1; ∞).