Question

Найдите наибольшее значение параметра а, при котором система уравнений х^2 + у^2 = 2, х+|y| = a имеет ровно два решения.

Answer 1

Заданная система  уравнений х^2 + у^2 = 2, х+|y| = a графически представляет собой 3 фигуры:

- окружность х^2 + у^2 = 2,

- прямую у = -х + а,

- прямую у = х - а.

Эти прямые взаимно перпендикулярны и чтобы было 2 решения, они должны касаться окружности каждая в одной точке.

Радиусы в точку касания параллельны прямым, но так как они идут из начала координат, то их уравнения у = х и у = -х.

Возьмём у = х и у = -х + а и приравняем: 2х = а,  х =а/2, но и у = х = а/2.

Подставим ув уравнение окружности: (а²/4) + (а²/4) = 2, 2а² = 8,

а² = 8/2 = 4. Отсюда а = +-2.

Ответ: наибольшее значение параметра а равно 2.