Question

Решите Функцию. срочноооо​

Answer 1

Дано:  F(x) = x²/(4*x² - 1)

Исследование

1. Область определения:  в знаменателе  4*х²-1 = (х- 0,5)*(х+0,5) ≠ 0.

D(y)= X≠ ±0,5 , X∈(-∞;-0,5)∪(-0,5;0,5)∪(0,5;+∞).

Не допускаем деления на 0 в знаменателе.  

2. Разрыв II-го рода при Х = ± 0,5.  

Вертикальные асимптоты  - Х = -0,5 и Х = 0,5.    

3. Наклонная асимптота: y = k*x+b.

k = lim(+∞)Y(x)/x = lim(+∞) = (x²+1)/(x³-x) = 0.  

b = lim(+∞)Y(x) - k*x = lim(+∞)(x²)/(4*x²-1) = 1/4.  

y(x) = 1/4 - горизонтальная асимптота.  

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.  

Y(x) =0.  Х =0.

Пересечение с осью ОУ :  Y(0) =  0.  

5. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-0,5;0,5).

Положительна: Y>0 - X∈(-∞;-0,5)∪(0,5;+∞;)  

6. Проверка на чётность.  

Функция чётная. Y(-x) = Y(x) ,  

7. Поиск экстремумов по первой производной.      

y'(x) = 2*x/(4*x²-1)- 8*x³/(4*x²-1)² = -2x/(4*x²-1)² = 0.  

x = 0  - точка экстремума.  

8. Локальный максимум: y(0) = 0.  

9. Интервалы монотонности.    

Возрастает - X∈(-∞;-0,5)∪(-0,5;0).

Убывает: X∈(0;0,5)∪(0,5;+∞).  

10. Поиск перегибов по второй производной.    

y"(x) = 32*x²/(4*x²-1)³ - 2/(4*x² -1)² = (24*x²+2)/(4*x-1)³ = 0  

Точек перегиба нет, кроме разрывов при Х = ± 0,5.      

11. Вогнутая - "ложка"- X∈(-∞;-0,5)∪(0,5;+∞;),  

выпуклая - "горка" - X∈(-0,5;0,5);    

12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).    

13. График функции на рисунке в приложении.