Question

Контрольный тест состоит из 7 вопросов. На каждый есть четыре варианта ответа, из которых один правильный. Студент каждый раз выбирает ответ наугад. Какова вероятность того, что он сдаст тест, если для этого достаточно ответить:
а) на 4 вопроса
б) по крайней мере на 3 вопроса

Answer 1

Вероятность ответить на один вопрос правильно равна p = 1/4, а вероятность ответить неправильно равна q = 1-p = 1-1/4 = 3/4. Всего n = 7 испытаний.

                          $P_k=C_n^kp^kq^{n-k}$ - формула Бернулли

а) Вероятность того, что студент ответить на 4 вопроса, равна

     $P_4=C^4_7p^7q^3=\dfrac{7!}{4!3!}\cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^7\cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^3\approx 0.001$

б) По теореме сложения, вероятность того, что студент ответит по крайней мере на 3 вопроса равна

   $P=1-\left(P_1+P_2\right)=1-C^1_7pq^6-C^2_7p^2q^5=1-7\cdot\dfrac{1}{4}\cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^6-21\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^2\cdot\\ \\ \\ \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^5\approx0.377$