Question

Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятности их попадания в мишень соответственно равны 0,75 (1-й стрелок) и 0,80 (2-й стрелок). После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что в мишень попал 2-й стрелок?

Answer 1

Событие $A$ — мишень поражена одним выстрелом. Рассмотрим следующие гипотезы:

$H_1$ — мишень поражена только первым стрелком

$H_2$ — мишень поражена только вторым стрелком

$H_3$ — мишень поражена только первым и вторым стрелками

$H_4$ — ни один стрелок не попал.

Обозначим события $A_1,A_2$ - попадание в мишень первым и вторым стрелками соответственно.

$P\left(H_1\right)=P\left(A_1\right)\cdot \left(1-P\left(A_2\right)\right)=0.75\cdot\left(1-0.8\right)=0.15\\ P\left(H_2\right)=\left(1-P\left(A_1\right)\right)\cdot P\left(A_2\right)=\left(1-0.75\right)\cdot 0.8=0.2\\ P \left(H_3\right)=P\left(A_1\right)\cdot P\left(A_2\right)=0.75\cdot0.8=0.6\\ P\left(H_4\right)=\left(1-P\left(A_1\right)\right)\cdot\left(1-P\left(A_2\right)\right)=\left(1-0.75\right)\cdot\left(1-0.8\right)=0.05$

Условные вероятности:

                              $P\left(A|H_1\right)=P(A|H_2)=1;~~~\\ P\left(A|H_3\right)=P\left(A|H_4\right)=0$

По формуле Байеса, искомая вероятность:

$P\left(H_2|A\right)=\dfrac{P\left(A|H_2\right)\cdot P\left(H_2\right)}{P(A)}=\dfrac{1\cdot0.2}{0.15\cdot1+0.2\cdot1+0.6\cdot0+0.05\cdot0}=\dfrac{4}{7}$

Ответ: 4/7.