Question

Дослідити функцію і побудувати її графік y=x+1/x^2-2

Answer 1

ДАНО: F(x) = (x+1)/(x²-2)

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения:

В знаменателе: х²- 21 = (x-√2)*(x+√2)≠0

Не допускаем деления на 0 в знаменателе.  

D(y)= X≠ ± √2 , X∈(-∞;-√2)∪(-√2;√2)∪(√2;+∞).

2. Разрыв II-го рода при Х = ± √2 .

Две вертикальных асимптоты  - Х = - √2 и Х = √2.    

3. Нули функции, пересечение с осью ОХ.  

x+1 = 0 . Нуль функции: x = -1

4. Пересечение с осью ОУ: F(0) = - 1/2 = - 0,5.  

5. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: F(x)<0 - X∈(-∞;-√2)∪(-1;√2).

Положительна: F>0 - X∈(-√2;1)∪(√2;+∞;)  

6. Проверка на чётность.

Функция общего вида: Y(-x) ≠ -Y(x) ,Y(-x) ≠ Y(x)    

7. Поиск экстремумов по первой производной.      

F'(x) = (x² - 2*x*(x+1) - 2)/(x² -2)²

Корней нет.

8. Локальных экстремумов - нет.

9. Интервалы монотонности.    

Убывает во всём интервале существования/

10. Поиск перегибов по второй производной.    

F"(x) = (2*x³ + 6*x² + 12*x + 4)/(x²-2)³ = 0.

Точка перегиба при Х ≈ - 0,4      

11. Вогнутая - "ложка"- X∈(-√2;-0,4)∪(√2;+∞),

выпуклая - "горка" - X∈(-∞;-√2)∪(-0,4;√2);    

12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).    

13. График функции на рисунке в приложении.