Question

Найти общее решение уравнения 2-го порядка​

Answer 1

$2(y^{ \prime} )^{2} = y^{ \prime \prime } (y - 1)$
Уравнение, допускающее понижения порядка.
Пусть
$y^{ \prime} = p \: \: \: \: \: (p = p(y))$
тогда
${y}^{ \prime \prime} = {p}^{ \prime} p$
а уравнение примет вид
$2 {p}^{2} = {p}^{ \prime} p(y - 1) \\ {p}^{ \prime} = \frac{2 {p}^{2} }{p(y - 1)} \\ {p}^{ \prime} = \frac{2p}{y - 1}$
—уравнение с разделяющимися переменными
$\frac{dp}{dy} = \frac{2p}{y - 1} \\ \int\frac{dp}{p} = 2 \int \frac{dy}{y - 1} \\ ln |p| = 2ln |y - 1| + ln{ |a| } \: \: ({a} \neq0) \\ ln |p| = ln {( |a| (y - 1)}^{2})\\ |p| = |a| {(y - 1)}^{2} \\ p = c {(y - 1)}^{2} \: \: (c = _{-} ^{+} |a| )$
Возвращаемся к старой переменной
${y}^{ \prime} = c {(y - 1)}^{2}$
—уравнение с разделяющимися переменными
$\frac{dy}{dx} = c {(y - 1)}^{2} \\ \frac{dy}{ {(y - 1)}^{2} } = cdx \\ \int {(y - 1)}^{ - 2}dy = \int{cdx} \\ \frac{ {(y - 1)}^{ - 1} }{ - 1} = cx + c_{1} \\ - \frac{1}{y - 1} = cx + c_{1} \\ 1 - y = \frac{1}{cx + c_{1}} \\ y = 1 - \frac{1}{cx + c _{1}}$
—общее решение