Question

Вычислить площадь, ограниченную линиями: y=x^2+4x, y=x+4

Answer 1

Найдем точки пересечения графиков:

${x}^{2} + 4x = x + 4 \\ {x}^{2} + 4x - x - 4 = 0 \\ {x}^{2} +3x - 4 = 0$

по теореме Виета найдем корни уравнения

$x_{1} + x_{2} = - 3 \\ x_{1} \times x_{2} = -4 \\ \\ x_{1} = - 4 \\ x_{2} = 1$

$\int\limits^1_ - {(x + 4 - x^2-4x)} \, dx = \\ = \int\limits^1_ - {(- x^2-3x + 4)} \, dx = \\ = ( - \frac{ {x}^{3} }{3} - 3 \frac{ {x}^{2} }{2} + 4x) \binom{1}{ - 4} = \\ = ( - \frac{ {1}^{3} }{3} - 3 \frac{ {1}^{2} }{2} + 4 \times 1) - \\ - ( - \frac{ {( - 4)}^{3} }{3} - 3 \frac{ {( - 4)}^{2} }{2} + 4 \times ( - 4)) = \\ = - \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4 - \frac{64}{3} + 24 + 16 = \\ = 44 - \frac{3}{2} - \frac{65}{3} = \frac{264 - 9 - 130}{6} = \\ = \frac{125}{6} = 20 \frac{5}{6}$

*интеграл от -4 до 1

Ответ в кв.ед:

$20 \frac{5}{6}$

или

$\frac{125}{6}$