Question

На стороне
B
C
остроугольного треугольника
A
B
C
как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту
A
D
в точке
M
,
A
D
=
162
,
M
D
=
144
,
H
- точка пересечения высот треугольника
A
B
C
. Найдите
A
H

Answer 1

На сто­ро­не BC ост­ро­уголь­но­го треугольника ABC (AB ≠ AC) как на диа­мет­ре построена полуокружность, пе­ре­се­ка­ю­щая высоту AD в точке M, AD = 32, MD = 8, H — точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC. Най­ди­те AH.

Решение.

Проведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как ука­за­но на рисунке. Угол — вписанный, опи­ра­ю­щий­ся на диаметр, по­это­му он равен 90°. Значит, точка пе­ре­се­че­ния пря­мых и — точка пе­ре­се­че­ния высот Про­дол­жим вы­со­ту до пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью в точке Получаем, что По тео­ре­ме о се­ку­щих получаем, что Тре­уголь­ни­ки и — прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны, откуда:

Ответ: 30.