Question

помогите с параметром. 98 баллов

Answer 1

$y^2=x^2\Leftrightarrow y=\pm x.$ Таким образом, второе уравнение задает две прямые. Чтобы система имела 4 решения, нужно, чтобы парабола, задаваемая первым уравнением, пересекалась с каждой из них в двух точках, причем все четыре точки должны быть разными (то есть парабола не должна проходить через начало координат, поскольку эта точка лежит на обеих прямых - это означает, что нужно отбросить значение a=3). Кстати, при a= - 3 это не парабола, а прямая, поэтому это значение параметра отбрасываем сразу.

1-й случай. y=x.

$x=(a+3)x^2+2ax+a-3;\ (a+3)x^2+(2a-1)x+a-3=0.$

Наличие двух точек пересечения с этой прямой равносильно положительности дискриминанта полученного квадратного уравнения:

$D=(2a-1)^2-4(a-3)(a+3)>0;\ 4a^2-4a+1-4a^2+36>0;\ a<\frac{37}{4}.$

2-й случай. y= - x

$-x=(a+3)x^2+2ax+a-3;\ (a+3)x^2+(2a+1)x+a-3=0;$

$D=(2a+1)^2-4(a-3)(a+3)>0;\ 4a^2+4a+1-4a^2+36>0;\ a>-\frac{37}{4}.$

Учитывая все полученные ограничения для a, получаем

Ответ: $\left(-\frac{37}{4};-3\right)\cup (-3;3)\cup \left(3;\frac{37}{4}\right)$