Question

Найдите количество целых решений неравенства:

Answer 1

$\sqrt{\sin\dfrac{\pi x}{3}}\cdot(20-x^2+x)\geq0$

Рассмотрим ограничение, накладываемое квадратным корнем.

$\sin\dfrac{\pi x}{3}\geq0 \ \ \Leftrightarrow \ \ 2\pi k\leq\dfrac{\pi x}{3}\leq \pi+2\pi k \ \ \Leftrightarrow \ \ 6k\leq x\leq 6k+3, \ k \in \mathbb{Z}$

Областью допустимых значений неравенства на промежутке [-6; 12] будет x∈[-6; -3]∪[0; 3]∪[6; 9]∪{12}.

Вернемся к неравенству. Так как корень квадратный является числом неотрицательным при любых значениях x, можно выполнить следующий равносильный переход.

$\sqrt{\sin\dfrac{\pi x}{3}}\cdot(20-x^2+x)\geq0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left [ \begin{array}{I} 20-x^2+x \geq 0 \\ \sin \dfrac{\pi x}{3}=0 \end{array} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left [ \begin{array}{I} x\in[-4; \ 5] \\ x=3k, \ k \in \mathbb{Z} \end{array}$

С учетом ОДЗ на промежутке получим решения x∈{-6}∪[-4; -3]∪[0; 3]∪{6}∪{9}∪{12}. Таким образом, при заданном условии неравенство имеет 10 целых решений.

Ответ: 10