Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА А ТО ДОЛГО СИЖУ НАД ЗАДАНИЯМИ!ДАЮ 50 БАЛЛОВ , ВСЕ СВОИ ПОСЛЕДНИЕ БАЛЛЫ
1.Какая из следующих функций является периодической?
А.y=sin3x/2 B.y=xsinx C.y=sin(x^2+1) D.y=sinx^2 E.y=x-sinx И ПОЧЕМУ?
2.Найдите наименьшее значение функции y=(sin30граусов)^(cosx+sinx)
3.Найдите множество значений функции y=cosx+sinx*ctgx
4.Найдите значение выражения 3|sinA-cosA| если sinA*cosA=3/8

Answer 1

1)

$y=\sin\frac{3x}{2}$; Синус - это периодическая функция.

$\sin(\frac{3(x+\frac{4\pi}{3}) }{2})=\sin(\frac{3x}{2}+2\pi)=\sin(\frac{3x}{2})$; Поэтому у данной функции есть период. Просмотрим остальные:

$y=x\sin x$; Пусть у этой функции есть период T: $(x+T)\sin(x+T)=x\sin x \Leftrightarrow 1+\frac{Tn}{x}=\frac{\sin x}{\sin(x+Tn)}, \forall x , n\in \mathbb{N}$; Выберем такое число x и n, что выполняются следующие условия: $x<Tn, \; n>3,\; \cot x <1$; Тогда левая часть будет больше правой, что невозможно.

$y=\sin(x^{2}+1)$; Пусть функция имеет период T:

$\sin((x+T)^{2}+1)=\sin(x^{2}+1)$

$(x+T)^{2}+1=x^{2}+1+2\pi \Leftrightarrow T^{2}+2xT-2\pi=0 \Rightarrow T\neq const$; Получили противоречие.

С оставшимися аналогично.

Ответ: А;

2) $y=(\sin 30^{o})^{\sin x +\cos x} \Leftrightarrow y=(\frac{1}{2})^{\sin x +\cos x}$; Функция монотонно убывает по мере роста показателя степени.

Заметим, что $\sin x +\cos x = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\leq \sqrt{2}$; Значит, $y \geq (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} = 2^{-\sqrt{2}}$;

3) $y=\cos x +\sin x \cot x \Leftrightarrow y=2\cos x, x\neq k\pi, \; k\in \mathbb{Z}$; С этими условиями область значений равна [-2;2]; Если брать в расчет все значения x, то придется выколоть все точки с ординатами 2 или -2; Получаем, что E(f)=(-2;2);

4) Пусть sin A - первый корень какого-нибудь квадратного трехчлена, а -cos A - его второй корень. Тогда квадратное уравнение примет такой один из возможных видов: $x^{2}+bx-\frac{3}{8}$;

В итоге, получаем: $\left \{ {{\sin^{2}x+b\sin x=\frac{3}{8} } \atop {\cos^{2}x-b\cos x=\frac{3}{8} }} \right.$; Сложим два уравнения:

$\sin^{2}x + \cos^{2}x+b(\sin A -\cos A) =\frac{3}{4}\Leftrightarrow 1-b^{2}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow b=\pm \frac{1}{2}$;  

$3|\sin A -\cos A| = 3|b| = 3\times \frac{1}{2} =\frac{3}{2}$