Question

Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция f(x) принимает значения 13, 13 и 35 соответственно. Найдите наименьшее возможное значение f(x).

Answer 1

Ответ:

10,25

Объяснение:

Пусть n-1, n и n+1 - три последовательные натуральные числа из условии.

Общий вид квадратичной функции: f(x)=a·x²+b·x+c₁. График этой функции парабола и симметрична относительно прямой

$\tt \displaystyle x_{0}=-\frac{b}{2 \cdot a} .$

Это значение равно абсциссе вершины параболы. Функцию представим через  абсциссы вершины параболы x₀:

$\tt \displaystyle f(x)=a \cdot x^{2} + b\cdot x + c_{1}= a \cdot (x^{2} + \frac{b}{a} \cdot x) + c_{1}= \\\\=a \cdot (x^{2} + 2 \cdot \frac{b}{2 \cdot a} \cdot x+(\frac{b}{2 \cdot a})^2-(\frac{b}{2 \cdot a})^2) + c_{1}=\\\\=a \cdot (x+\frac{b}{2 \cdot a} )^{2} -a \cdot (\frac{b}{2 \cdot a})^2 + c_{1}=a \cdot (x-x_0 )^{2} -\frac{b^2}{4 \cdot a} + c_{1}= \\\\=a \cdot (x-x_0 )^{2}+c, \;\; c=\frac{b^2}{4 \cdot a} + c_{1}.$

Рассмотрим случаи.

1-случай. Коэффициент a<0. Тогда ветви параболы направлены вниз и

f(n-1)=13, f(n)=35 и f(n+1)=13 (см. рисунок 1).  

В этом случае наименьшее значение функции f(x) не существует (-∞ не принимается как значение функции).

2-случай. Коэффициент a>0. Тогда ветви параболы направлены вверх и

f(n-1)=13, f(n)=13 и f(n+1)=35 (см. рисунок 2).

Так как квадратичная функция принимает одинаковые значения в точках, симметричных относительно  абсциссы вершины параболы x₀ , то

$\tt \displaystyle x_{0}=\frac{n-1+n}{2}=n-0,5.$

Теперь функцию представим через  абсциссы вершины параболы x₀:

f(x)=a·(x-n+0,5)²+c.

Так как a·(x-n+0,5)² ≥0, то наименьшее возможное значение f(x) равно с! Остаётся определить значение с.

Вычислим значения функции в последовательных натуральных значений аргумента:

f(n-1)=a·(n-1-n+0,5)²+c=a·(-0,5)²+c=0,25·a+c=13

f(n)=a·(n-n+0,5)²+c=a·0,5²+c=0,25·a+c=13

f(n+1)=a·(n+1-n+0,5)²+c=a·1,5²+c=2,25·a+c=35.

Получили систему уравнений:

$\tt \displaystyle \left \{ {{0,25 \cdot a+c=13 \;| \cdot 9} \atop {2,25 \cdot a+c=35}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{2,25 \cdot a+9 \cdot c=117 } \atop {2,25 \cdot a+c=35}} \right. \Rightarrow 9 \cdot c-c=117-35\Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow 8 \cdot c= 82 \Leftrightarrow c= 82:8=10,25.$