Question

Решить неравенство
$log_{0.5}^{2}(x-2)\ \textless \ 4$

Answer 1

$log^2_{0,5}(x-2)<4$

ОДЗ: x-2>0  => x>2

$log^2_{0,5}(x-2)-4<0$

$log^2_{0,5}(x-2)-2^2<0$

Замена:

$log_{0,5}(x-2)=t$

тогда

$t^2-4<0$

$t^2-2^2<0$

$(t-2)(t+2)<0$

$-2<t<2$

Обратная замена:

$-2<log_{0,5}(x-2)<2$

$log_{0,5}4<log_{0,5}(x-2)<log_{0,5}0,25$

Основание 0,5<1, т.е. функция $y=log_{0,5}x$  убывающая, значит, знаки неравенства поменяются на противоположные:

$4>x-2>0,25$

или

$0,25<x-2<4$

Ко всем частям неравенства прибавим 2:

$0,25+2<x-2+2<4+2$

$2,25<x<6$

Ответ: x∈(2,25;   6)

Пояснение:

$-2=log_{0,5}4\\\\2=log_{0,5}0,25$