Question

Найти общее решение ДУ​

Answer 1

Преобразуем данное уравнение:
${x}^{2} y^{ \prime} + {y}^{2} = xy {y}^{ \prime} \\ {x}^{2} {y}^{ \prime} - xy {y}^{ \prime} = - {y}^{2} \\ {y}^{ \prime} ( {x}^{2} - xy) = - {y}^{2} \\ {y}^{ \prime} = \frac{ {y}^{2} }{xy - {x}^{2} } \\ {y}^{ \prime} = \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2}( \frac{y}{x} - 1) } \\ {y}^{ \prime} = \frac{ {( \frac{y}{x}) }^{2} }{ \frac{y}{x} - 1}$
Последнее уравнение есть однородное уравнение. Решим его методом замены переменной.
Пусть
$\frac{y}{x} = z \: \: z = z(x) \\ y = xz \\ {y}^{ \prime} = z + x {z}^{ \prime}$
тогда
$z + x {z}^{ \prime} = \frac{ {z}^{2} }{z - 1} \\ x {z}^{ \prime} = \frac{ {z}^{2} }{z - 1} - z \\ x {z}^{ \prime} = \frac{z}{z - 1} \\ {z}^{ \prime} = \frac{1}{x} \frac{z}{z - 1}$
—уравнение с разделяющимися переменными
$\frac{dz}{dx} = \frac{1}{x} \frac{z}{z - 1} \\ \frac{z - 1}{z}dz = \frac{dx}{x} \\ \int(1 - \frac{1}{z}) dz = \int \frac{dx}{x} \\ z - ln |z| = ln |x| + c \\ \frac{y}{x} - ln| \frac{y}{x} | = ln |x| + c \\ \frac{y}{x} - ( ln | \frac{y}{x} | + ln |x| ) = c \\ \frac{y}{x} - ln |y| = c$
—общее решение исходного уравнения