Question

Для десяткового дробу x з значком [х] будемо позначати його цілу частину, тобто найбільше натурально число або 0, що не перевищує х. Наприклад [2,319]=2; [0,319]=0; [2]=2. Знайдіть суму усіх чисел х, для яких виконуються рівність:3х=4[х] Подскажите пожалуйста решение

Answer 1

Найдем все такие числа x;

Пусть $[x]=x-\mathcal{E}$, где $0<\mathcal{E}<1$;

Из уравнения тогда следует:

$\frac{[x]}{x}=\frac{3}{4} \Rightarrow \frac{x-\mathcal{E}}{x}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{\mathcal{E}}{x}=\frac{1}{4}$;

Пусть также $x=\frac{m}{n}, \; \gcd(m,n)=1$; Из предыдущего уравнения следует, что $\mathcal{E}=\frac{m}{4n}=\frac{x}{4} <1 \Leftrightarrow x<4$; Значит x лежит в промежутке от 0 до 4.

Небольшой проверкой находим эти числа: x=4/3, x=8/3; Их сумма равна 4; Конечно, можно было просто перебрать эти числа, но интересней поиграться ;)