Question

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна a , угол между смежными боковыми гранями альфа. Найдите объём пирамиды

Answer 1

Рассмотрим треугольник ВКД. Угол ВКД и есть угол альфа.

Диагонали d = АС = ВД = а√2.

Высота ОK = (d/2)/tg(α/2) = (а√2/2)/(tg(α/2)).

Теперь перейдём к треугольнику ОSC. Пусть угол SCО - это β.

sin β = OK/OC = (а√2/2)/(tg(α/2))/((а√2/2) = 1/tg (α/2).

tg β = sin β/√(1 - sin²β) = 1/√(tg² (α/2) - 1).

Отсюда находим высоту пирамиды:

Н = ОС*tg (α/2) = a√2/(2√(tg² (α/2) - 1)).

Объём пирамиды равен:

V = (1/3)SoH = (1/3)a²*(a√2/(2√(tg² (α/2) - 1))) = a³√2/(6√(tg² (α/2) - 1)).