Question

Помогите пожалуйста решить задание.
Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 1) |z|=2; 2) |z-1|<3

Answer 1

             

1).

Комплексное число $z$ можно представить в виде $x+yi$ ($i$ - конечно, мнимая единица). Тогда, по определению модуля комплексного числа, $| \, z\, | = \sqrt{x^2+y^2}$.

Это означает, что нам нужно найти такое множество точек на комплексной плоскости, что $\sqrt{x^2+y^2} = 2$. Так как обе части уравнения неотрицательные, то их можно возвести в квадрат: $x^2+y^2=4$.

А это - уравнение окружности! $(x-0)^2+(y-0)^2 = 2^2$.

$a=0$ и $b=0$  ⇒  Центр окружности расположен в точке $0$ ($0+0i$).

$R=2$   ⇒  Радиус равен $2$.  

Ответ:

окружность  с  центром в  точке  $0$  и  радиусом  $2$.

2).

Если ${z=x+yi}$, то $z-1=(x-1)+yi$.

Откуда $|z-1| = \sqrt{(x-1)^2+y^2}$.

По условию задачи, $|z-1| <3$ или же $\sqrt{(x-1)^2+y^2} < 3$.

Опять все сводится к несложному уравнению окружности: $(x-1)^2+y^2=9$ (если уж очень подробно расписать, получится$(x-1)^2+(y-0)^2=3^2$).

$a=1$ и $b=0$  ⇒  Центр окружности расположен в точке $1$ ($1+0i$)

$R=3$   ⇒  Радиус равен $3$.

Только нужно не забывать, что "все сводится к окружности", но ею не является. Так как был знак "$<$" (а не "$=$"), то искомым множеством будут все точки внутри окружности (сама окружность в это множество не входит).

Ответ:

все  внутренние  точки  окружности  с  центром  в  точке  $1$  и  радиусом  $3$.