Question

Не вычисляя корней уравнения 3х^2 + 8x - 1= 0, найдите: х1 × х2^3 + x2 × x1^3​

Answer 1

$\tt\displaystyle 3x^2+8x-1=0\\x_1\cdot x^3_2+x_2\cdot x_1^3=x_1\cdot x_2(x^2_1+x^2_2)\\\\\left \{ {{x_1\cdot x_2=-\frac{1}{3}} \atop {x_1+x_2=-\frac{8}{3}}} \right. \\\\\\x_1x_2\cdot(x_1^2+x_2^2)=\\ (-\frac{1}{3})[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]=(-\frac{1}{3})[\frac{64}{9}+\frac{2}{3}]=(-\frac{1}{3})(\frac{64+6}{9})=-\frac{70}{27}$

Ответ: $\displaystyle -\frac{70}{27}$

Answer 2

Пример на применение теоремы Виета, разделим на 3 обе части уравнения, получим х²+8х/3-1/3=0, теперь х₁+х₂= - 8/3;    х₁х₂= -1/3

Упростим выражение

х₁(х₂)³+х₂х₁³=х₁*х₂*(х₂²+х₁²)=х₁*х₂(х₁²₊х₂²+2х₁х₂-2х₁х₂)=

х₁*х₂*((х₁²+2х₁х₂+х₂²)-2х₁*х₁)= (-1/3)*((-8/3)²-2*(-1/3))=(-1/3)*(64/9+2/3)=

-(1/3)*(70/9)= -70/27