Question

Помогите решить пример, чтобы получился такой ответ(картинка 2), у меня получился через арксинус.

Answer 1

$4\, (sinx+cosx)=3\, sinx\cdot cosx\\\\\\t=sinx+cosx\; ,\; \; t^2=(sinx+cosx)^2\; ,\; t^2=\underbrace {sin^2x+cos^2x}_{1}+2\, sinx\cdot cosx\; ,\\\\t^2=1+2\, sinx\cdot cosx\; ,\; \; 2\, sinx\cdot cosxx=t^2-1\; ,\; \; sinx\cdot cosx=\frac{t^2-1}{2}\\\\\\4\, t=3\cdot \frac{t^2-1}{2}\; \; ,\; \; 8\, t=3t^2-3\; ,\; \; 3t^2-8t-3=0\; ,\\\\D/4=4^2+3\cdot 3=25\; ,\; \; t_{1,2}=\frac{4\pm 5}{3}\; ,\; \; t_1=-\frac{1}{3}\; ,\; \; t_2=3\\\\a)\; \; sinx+cosx=-\frac{1}{3}\, \Big |:\sqrt2$

$\frac{1}{\sqrt2}\cdot sinx+\frac{1}{\sqrt2}\cdot cosx=-\frac{1}{3\sqrt2}\\\\sin\frac{\pi }{4}\cdot sinx+\frac{\pi}{4}\cdot cosx=-\frac{1}{3\sqrt2}\\\\cos(x-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{3\sqrt2}\\\\x-\frac{\pi}{4}=\pm arccos(-\frac{1}{3\sqrt2})+2\pi n=\pm (\pi -arccos\frac{1}{3\sqrt2})+2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\\underline {x=\frac{\pi}{4}\pm (\pi -arccos\frac{1}{3\sqrt2})+2\pi n\; ,\; n\in Z}\\\\b)\; \; sinx+cosx=3\\\\cos(x-\frac{\pi}{4})=3>1\; \; \Rightarrow \; \; x\in \varnothing \\\\Otvet:\; \; x=\frac{\pi }{4}\pm (\pi -arccos\frac{1}{3\sqrt2})+2\pi n,\; n\in Z\; .$

P.S.  Если в уравнении одновременно присутствуют сумма sinx и cosx , а также их произведение, то метод решения - замена t=sinx+cosx.