Question

Помогите решить задачу:

В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ и ВN, пересекающиеся в точке О. Вершина С лежит на окружности, проходящей через точки О, М, N. Найти ОМ и ОN, если MN = √3.

Answer 1

Сумма углов треугольника равна 180.

∠A+∠B+∠C=180

В треугольнике AOB

∠A/2 +∠B/2 +∠AOB =180 => 2∠AOB -∠C =180

∠AOB=∠MON (вертикальные углы)

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180.

В четырехугольнике CMON

∠MON +∠C =180 => ∠MON=120

CO - биссектриса ∠MON, ∪OM=∪ON => OM=ON (хорды, стягивающие равные дуги)

Треугольник MON равнобедренный, проведем высоту к основанию, в полученном прямоугольном треугольнике катет против угла 60 равен √3/2, следовательно гипотенуза равна 1.

OM=ON=1

Или по теореме косинусов

MN^2= 2OM^2(1-cos(MON)) <=> OM=1