Question

После ремонта дома осталось некоторое количество плиток.Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом.Если укладывать в ряд по 8 плиток,то для квадратной площадки плиток не хватит.При укладывании по 8 плиток в ряд остается один неполный ряд,и при укладывании по 9 плиток тоже остается неполный ряд.Сколько всего плиток осталось после строительства дома,если сумма плиток в этих неполных рядах равна 13? Запишите решение и ответ.

Answer 1

Решение:

Заметим, что мы можем представить искомое число в виде $8x+z$, причем $0< z <8$ и $8x+z<64$. Но это же самое число равно $9y+(13-z)$, оно тоже меньше $64$. И $0<13-z<9$, то есть $4<z<13$.

Составим уравнение, решать которое будем в целых числах:

$8x+z=9y+(13-z)\\8x+2z=9y+13$

Чтобы правая часть тоже делилась на $2$, $y$ обязан быть нечетным. Рассмотрим все возможные случаи.

1). $y=1$.

То есть $8x+2z=9 \cdot 1 + 13 = 22$. Тогда $x=2$ и $z=3$ не удовлетворяют условию. И остается только вариант $x=1$ и $z=7$. В этом случае искомое число - это $15$.

2). $y=3$.

Имеем $8x+2z=9 \cdot 3 + 13 = 40$ или $4x+z=20$. $z=0, z=4$ - не подходят (слишком маленькие значения). $z=8$ - слишком много.

3). $y=5$

Получаем $8x+2z=9 \cdot 5+13=58; \;\; 4x+z=29$.

$z=1$ - слишком мало, а $z=9$ - слишком много.

Остается лишь $z=5$, и, соответственно, $x=6$.

Искомое число здесь равно $53$.

Заметим, если мы будем брать большие значения $y$, то ни к чему хорошему это не приведет. А все потому что можно будет уложить квадратную площадку.

Делаем вывод, что плиток могло остаться или $15$, или $53$.

Задача решена!

Ответ:  $15$ или $53$.