Question

Решите номер 5 .Есть вложение. 25 б .

Answer 1

$u=x^2+y^2-3y+yz+2z^2+2z$

Найдём частные производные первого порядка для трёх переменных.

$u'_x=(x^2+y^2-3y+yz+2z^2+2z)'_x=\\=2x+0-0+0+0=2x\\u'_y=(x^2+y^2-3y+yz+2z^2+2z)'_y=\\=0+2y-3+z+0+0=2y+z-3\\u'_z=(x^2+y^2-3y+yz+2z^2+2z)'_z=\\=0+0-0+y+4z+2=4z+2+y$

Теперь найдём в какой именно точке производная равна нулю.

$\left \{ {{2x=0} \atop {\left \{ {{2y+z-3=0} \atop {4z+y+2=0}} \right. }} \right. \\y=-2-4z=>-4-8z+z-3=0=>\\=>z=-1=>2y-1-3=0=>y=2\\Q(0;2;-1)$

Теперь надо найти все производные второго порядка, их значение в точке Q, а затем составить матрицу Гессе.

$u=x^2+y^2-3y+yz+2z^2+2z\\u''_{xx}=(2x+0-0+0+0+0)'_x=2\\u''_{xy}=(2x)'_y=0\\u''_{xz}=(2x)'_z=0\\u''_{yx}=(0+2y-3+z+0+0)'_x=0-0+0\\u''_{yy}=(2y-3+z)'_y=2-0+0\\u''_{yz}=(2y-3+z)'_z=1\\u''_{zx}=(0+0-0+y+4z+2)'_x=0+0+0\\u''_{zy}=(y+4z+2)'_y=1\\u''_{zz}=(y+4z+2)'_z=4$

Значение точки подставлять не пришлось т.к. получились константы

Составим эту матрицу.

$H=\left(\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&2&1\\0&1&4\end{array}\right)$

Вычислим угловые миноры.

$H=\left(\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&2&1\\0&1&4\end{array}\right)\\\delta_1=2>0\\\delta_2=\left|\begin{array}{cc}2&0\\0&2\end{array}\right|=4-0=4>0\\\delta_3=\left|\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&2&1\\0&1&4\end{array}\right|=2*2*4+0*0*1+0*1*0-\\0*0*2-2*1*1-0*0*4=16-2=14>0$

1. Если δ₁>0; δ₂>0; δ₃>0, то функция u=f(x;y;z) достигает минимума в точке Q.

2. Если δ₁<0; δ₂>0; δ₃<0 (именно так) то максимум в точке Q.

3.1. Иначе если δ₃=|H|≠0, то Q-седловая точка.

3.2. А если δ₃=|H|=0, то это не max и не min.

В нашем случаи это точка минимума.

$u(0;2;-1)=0^2+2^2-3*2+2*(-1)+\\2*(-1)^2+2*(-1)=4-6-2+2-2=-4$

Ответ: $u_{min}=u(0;2;-1)=-4$