Question

log0,6(sin(1/2 arccos(-1/5))) пожалуйста помагитееее!!!

Answer 1

$\log_{0{,}6}\left(\sin\left(\dfrac{1}{2}\arccos\left(-\dfrac{1}{5}\right)\right)\right)=\log_{\tfrac{3}{5}}\left(\sin\left(\dfrac{\pi-\arccos\tfrac{1}{5}}{2}\right)\right)=\\\\=\log_{\tfrac{3}{5}}\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\arccos{\tfrac{1}{5}}}{2}\right)\right)=\log_{\tfrac{3}{5}}\left(\cos\left(\dfrac{\arccos{\tfrac{1}{5}}}{2}\right)\right)$

• Рассмотрим $\cos\left(\dfrac{\arccos\tfrac{1}{5}}{2}\right)$

Заметим, что

$\arccos1<\arccos\tfrac{1}{5}<\arccos0\\\\0<\arccos\tfrac{1}{5}<\dfrac{\pi}{2}\\\\0<\dfrac{\arccos\tfrac{1}{5}}{2}<\dfrac{\pi}{4}$

Следовательно, $\cos\left(\dfrac{\arccos\tfrac{1}{5}}{2}\right)>0$

• Найдём значение этого косинуса

Для удобства обозначим $\varphi=\arccos\tfrac{1}{5}$

$\cos\varphi=\dfrac{1}{5}\\\\\cos\left(2\cdot\dfrac{\varphi}{2}}\right)=\dfrac{1}{5}\\\\2\cos^2\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)-1=\dfrac{1}{5}\\\\\cos\dfrac{\varphi}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{3}{5}}$

Т.к. мы определили, что $\cos\left(\dfrac{\arccos\tfrac{1}{5}}{2}\right)>0$, то получаем

$\cos\left(\dfrac{\arccos\tfrac{1}{5}}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{3}{5}}$

• Возвращаемся к преобразованному уравнению

$\log_{\tfrac{3}{5}}\left(\cos\left(\dfrac{\arccos{\tfrac{1}{5}}}{2}\right)\right)=\log_{\tfrac{3}{5}}\left(\sqrt{\dfrac{3}{5}}\right)=0{,}5$

Ответ. $0{,}5$